Question

18．设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log₂（x²+2）．
（1）求f（x）得解析式及值域：
（2）若f（a+1+4^x）+f（a•2^x）＞0恒成立，求a得取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log₂（x²+2），求得x＜0时的解析式，再由f（0）=0，可得函数f（x）的解析式，然后利用分段函数求得函数值域；
（2）当x＞0时，f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}+2）$为增函数，又f（x）是R上的奇函数，可得f（x）是R上的增函数，由函数的单调性把不等式f（a+1+4^x）+f（a•2^x）＞0转化为
a+1+4^x＞-a•2^x，然后分离参数a，求出函数g（x）=$-\frac{{2}^{2x}+1}{{2}^{x}+1}$的范围后可得a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log₂（x²+2）．
∴f（0）=0；
设x＜0，则-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-log₂（x²+2）．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{x}^{2}+2），x＞0}\\{0，x=0}\\{-lo{g}_{2}（{x}^{2}+2），x＜0}\end{array}\right.$．
当x＞0时，x²+2＞2，∴$lo{g}_{2}（{x}^{2}+2）＞1$，又f（0）=0，
结合对称性可得函数f（x）的值域为（-∞，-1）∪{0}∪（1，+∞）；
（2）当x＞0时，f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}+2）$为增函数，又f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）是R上的增函数，
则f（a+1+4^x）+f（a•2^x）＞0?f（a+1+4^x）＞f（-a•2^x）?a+1+4^x＞-a•2^x，
即（1+2^x）a＞-4^x-1恒成立，也就是$a＞-\frac{{2}^{2x}+1}{{2}^{2}+1}$恒成立，
函数g（x）=$-\frac{{2}^{2x}+1}{{2}^{x}+1}=-\frac{（{2}^{x}+1）^{2}-2（{2}^{x}+1）+1}{{2}^{x}+1}$=$-[（{2}^{x}+1）+\frac{1}{{2}^{x}+1}]+2$＜0．
∴a≥0．
即a的取值范围是[0，+∞）．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，考查了分段函数值域的求法，训练了利用函数单调性求解函数不等式，考查了利用分类参数法求解参数的取值范围，是中档题．