Question

10．在四边形ABCD中，若$\overline{AB}•\overline{BC}=\overline{BC}•\overline{CD}=\overline{CD}•\overline{DA}=\overline{DA}•\overline{AB}$，判断四边形ABCD的形状．

Answer 1

分析 把给出的向量等式变形，可得$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{BC}=0$，$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{DA}=0$，从而得到AD∥BC．同理可得AB∥CD．再由$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{CD}$，得AB⊥BC，则四边形ABCD为矩形．

解答 解：由$\overline{AB}•\overline{BC}=\overline{BC}•\overline{CD}=\overline{CD}•\overline{DA}=\overline{DA}•\overline{AB}$，得
$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{BC}=0$，$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{DA}=0$，
∴$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{AD}$，即AD∥BC．
同理有AB∥CD，则四边形ABCD为平行四边形，
又$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{CD}$，
∴AB⊥BC，则四边形ABCD为矩形．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了平面向量的加减法，是中档题．