Question

5．设定义在（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log₂x]=6．若x₀是方程f（x）-$\frac{1}{xln2}$=4的一个解，且x₀∈（a，a+1）（a∈N⁺），则实数a的值（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 设f（m）=6，则由f[f（x）-log₂x]=6可得f（x）-log₂x=m，求出m值，设$g（x）={log_2}x-\frac{1}{xln2}$，进而分析函数的单调性，结合零点存在定理，可得答案．

解答 解：设f（m）=6，则由f[f（x）-log₂x]=6可得f（x）-log₂x=m，
整理可得f（x）=log₂x+m，则f（m）=log₂m+m=6，解得m=4，
所以f（x）=log₂x+4，
所以${log_2}x+4-\frac{1}{xln2}=4$，即${log_2}x-\frac{1}{xln2}=0$，
设$g（x）={log_2}x-\frac{1}{xln2}$，由$g（1）=-\frac{1}{ln2}＜0$，$g（2）=1-\frac{1}{2ln2}＞0$，$g（3）={log_2}3-\frac{1}{3ln2}＞0$，…且g（x）为增函数，
可得g（x）在（1，2）上存在零点，即方程f（x）-f'（x）=4的解在（1，2），
所以a=1．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．