Question

10．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（φ＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

φx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{12}$		$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
Asin（φx+φ）	0	3	0	-3	0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）图象上所有点向右平行移动$\frac{π}{3}$个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离y轴最近的对称轴．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象的方法，将上表数据补充完整，直接写出函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．

解答 解：（Ⅰ）根据表中已知数据可得：A=3，$（-\frac{π}{6}）ω+φ=0$，$\frac{π}{3}ω+φ=π$，
解得  $ω=2，φ=\frac{π}{3}$，数据补全如下表：

φx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
Asin（φx+φ）	0	3	0	-3	0

且函数表达式为$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$，将y=f（x）图象上所有点向右平行移动$\frac{π}{3}$个单位长度，
可得$g（x）=3sin[2（x-\frac{π}{3}）+\frac{π}{3}]=3sin（2x-\frac{π}{3}）$，
因为y=sinx的对称轴是$x=kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
令$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$，解得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}，k∈Z$，令k=-1，可得$x=-\frac{π}{12}$，
所以y=g（x）的图象离y轴最近的对称轴$x=-\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．