Question

2．直线l与圆x²+y²=1交于P、Q两点，P、Q的横坐标为x₁，x₂，△OPQ的面积为$\frac{1}{2}$（O为坐标原点），则x₁²+x₂²=1．

Answer 1

分析 当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，联立方程由韦达定理可得x₁+x₂=$\frac{-2kb}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，由三角形的面积可得∠POQ=90°，进而可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，可得2b²=k²-1，代入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，化简可得．

解答 解：当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，
和圆的方程联立消y并整理得（1+k²）x²+2kbx+b²-1=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=$\frac{-2kb}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，
∵△OPQ的面积为$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$×1×1×sin∠POQ=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠POQ=1，∠POQ=90°，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=（1+k²）$\frac{{b}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$+kb$\frac{-2kb}{1+{k}^{2}}$+b²=0，
化简可得2b²=k²-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=$\frac{2{b}^{2}（{k}^{2}-1）+2（1+{k}^{2}）}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=1
验证可得当直线斜率不存在时，仍有x₁²+x₂²=1
故答案为：1

点评 本题考查直线和圆的位置关系，涉及三角形的面积公式和韦达定理以及向量的垂直，属中档题．