题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当函数有两个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】分析:(1)先求导,再对a分类讨论,求函数的单调区间. (2)对a分类讨论,作出函数的图像,分析出函数f(x)有两个零点所满足的条件,从而求出a的取值范围.
详解:(1)由题意得
①当时,令
,则
;
令,则
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增;
②当时,令
,则
或
,
(ⅰ)当时,令
,则
或
;
令,则
,
∴在
和
上单调递增,在
上单调递减;
(ⅱ)当时,
,
∴在
上单调递增;
(ⅲ)当时,令
,则
或
;
令,则
,
∴在
和
上单调递增,在
上单调递减;
(2)由(1)得当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减,
∴在
处取得极大值
,
∵,
∴此时不符合题意;
当时,
在
上单调递增,
∴此时不符合题意;
当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
∴的
处取得极大值
,
∵,
∴此时不符合题意;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
∵,
,
∴在
上有一个零点,
(ⅰ)当时,令
,当
时,
∵,
∴在
上有一个零点,
∴此时符合题意;
(ⅱ)当时,当
时,
,
∴在
上没有零点,此时不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为
.
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