Question

已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）

Answer 1

试题分析：（1）求导数，导数等于0求出，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果.
(1)由得，令，得或，
因为，，，，
所以在区间上的最大值为.
（2）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则
，且切线斜率为，所以切线方程为，
因此，整理得：，
设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”， =，
与的情况如下：

		0		1
	+	0		0	+
		t+3

 
所以，是的极大值，是的极小值，
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以
至多有2个零点，
当，时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以
至多有2个零点.
当且，即时，因为，，
所以分别为区间和上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.
（3）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；
过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；
过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切.