题目内容
已知函数
.
(1)求
在区间
上的最大值;
(2)若过点
存在3条直线与曲线
相切,求t的取值范围;
(3)问过点
分别存在几条直线与曲线
相切?(只需写出结论)

(1)求


(2)若过点


(3)问过点


试题分析:(1)求导数,导数等于0求出
,再代入原函数解析式,最后比较大小,即可;(2)设切点,由相切得出切线方程,然后列表并讨论求出结果;(3)由(2)容易得出结果.
(1)由
得
,令
,得
或
,
因为
,
,
,
,
所以
在区间
上的最大值为
.
(2)设过点P(1,t)的直线与曲线
相切于点
,则
,且切线斜率为
,所以切线方程为
,
因此
,整理得:
,
设
,则“过点
存在3条直线与曲线
相切”等价于“
有3个不同零点”, 
=
,
与
的情况如下:
所以,
是
的极大值,
是
的极小值,
当
,即
时,此时
在区间
和
上分别至多有1个零点,所以
至多有2个零点,
当
,
时,此时
在区间
和
上分别至多有1个零点,所以
至多有2个零点.
当
且
,即
时,因为
,
,
所以
分别为区间
和
上恰有1个零点,由于
在区间
和
上单调,所以
分别在区间
和
上恰有1个零点.
综上可知,当过点
存在3条直线与曲线
相切时,t的取值范围是
.
(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线
相切;
过点B(2,10)存在2条直线与曲线
相切;
过点C(0,2)存在1条直线与曲线
相切.

(1)由





因为




所以



(2)设过点P(1,t)的直线与曲线





因此


设










![]() | ![]() | 0 | ![]() | 1 | ![]() |
![]() | + | 0 | ![]() | 0 | + |
![]() | ![]() | t+3 | ![]() | ![]() | ![]() |
所以,




当






当






当





所以









综上可知,当过点



(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线

过点B(2,10)存在2条直线与曲线

过点C(0,2)存在1条直线与曲线


练习册系列答案
相关题目