题目内容

4.已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x+5;函数g(x)=ax(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(2)=9,且g[f(x)]≥k对x∈[-1,1]恒成立,求实数k的取值范围.

分析 (1)设f(x)=ax2+bx+c,由已知可得$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=5\\ c=1\end{array}\right.$,解得f(x)的解析式;
(2)若g(2)=9,则a=3,若g[f(x)]≥k对x∈[-1,1]恒成立,则k不大于函数的最小值,进而可得答案.

解答 解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,
∵f(0)=1,f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+c]-(ax2+bx+c)=2ax+a+b=2x+5,
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=5\\ c=1\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=4\\ c=1\end{array}\right.$
∴f(x)=x2+4x+1;
(2)若g(2)=9,则a2=9,
解得:a=3,
当x∈[-1,1]时,f(x)∈[-2,6],
g[f(x)]∈[$\frac{1}{9}$,729],
若g[f(x)]≥k对x∈[-1,1]恒成立,
则k≤$\frac{1}{9}$.

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,指数函数的图象和性质,难度中档.

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