Question

12．设函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，函数g（x）=3^ax-4^x（x∈R）．
（1）求g（x）的解析式；
（2）若方程g（x）-b=0在[-2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出3^a=2，代入g（x）=3^ax-4^x即可求解函数的解析式．
（2）化简方程，构造函数，利用数形结合求解实数b的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，∴3^a+2=18⇒3^a=2-----------（2分）
∵g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，------------（4分）
（2）方程为2^x-4^x-b=0  令t=2^x，x∈[-2，2]，则$\frac{1}{4}≤t≤4$-----------（6分）
且方程为t-t²-b=0在有两个不同的解．
设y=t-t²=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，y=b 两函数图象在$[{\frac{1}{4}，4}]$内有两个交点--------（8分）

由图知$b∈[{\frac{3}{16}，\frac{1}{4}}）$时，方程有两不同解．--------（12分）

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数的零点的求法，考查数形结合，考查计算能力．