Question

16．已知函数f（x）=m-$\frac{2}{{{5^x}+1}}$．
（1）用定义证明f（x）在R上单调递增
（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值．
（3）在（2）条件下，关于x的方程f（x）+λ+1=0在[0，3]上有解，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用证明单调性的步骤方法即可得出；
（2）利用f（-x）+f（x）=0，基础即可．
（3）由（2）可知：f（x）=1-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，f（x）+λ+1=0化为λ=-2+$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，利用函数的单调性即可得出λ的范围．

解答 解：（1）设 x₁＜x₂且x₁，x₂∈R
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=m-\frac{2}{{{5^{x_1}}+1}}-（m-\frac{2}{{{5^{x_2}}+1}}）=\frac{{2（{5^{x_1}}-{5^{x_2}}）}}{{（{{5^{x_1}}+1}）（{{5^{x_2}}+1}）}}$，
∵x₁＜x₂，
∴${5}^{{x}_{1}}$+1＞0，${5}^{{x}_{2}}$+1＞0，${5}^{{x}_{1}}-{5}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上单调递增．
（2）∵f（x）是R上的奇函数，
∴$f（x）+f（-x）=m-\frac{2}{{{5^x}+1}}+m-\frac{2}{{{5^{-x}}+1}}=0$，
即$2m-（\frac{2}{{{5^x}+1}}+\frac{{2×{5^x}}}{{{5^x}+1}}）=0⇒2m-2=0$，
∴m=1．
（3）由（2）可知：f（x）=1-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，
f（x）+λ+1=0化为λ=-2+$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，
当x=0时，λ=0；当λ=3时，λ=$-\frac{129}{65}$．
∵f（x）+λ+1=0在[0，3]上有解，
∴$-\frac{129}{65}$≤λ≤0．
∴λ的取值范围是$-\frac{129}{65}$≤λ≤0．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性、函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．