Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1,2,3，….
(1)求a₁，a₂；
(2)猜想数列{S_n}的通项公式，并给出严格的证明．

Answer 1

(1) a₁＝. a₂＝ 
(2)猜想S_n＝，n＝1,2,3，….

(1)先令n=1，则s₁-1即a₁-1是方程的一个根，因而建立关于a₁的方程求出a₁的值.同理再利用n=2时，求出a₂.
(2)由条件可知(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0,化简得S－2S_n＋1－a_nS_n＝0,
然后利用n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1,把a_n代入上式，消去a_n,就找到了s_n与s_n-1之间的递推关系，求出s₁,s₂,s₃,然后观察规律，归纳出s_n,再利用数学归纳法证明即可
(1)当n＝1时，x²－a₁x－a₁＝0有一根为S₁－1＝a₁－1，于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝. 当n＝2时，x²－a₂x－a₂＝0有一根为S₂－1＝a₂－， 于是(a₂－)²－a₂(a₂－)－a₂＝0，解得a₂＝ 
(2)由题设(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，S－2S_n＋1－a_nS_n＝0.当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1，
代入上式得S_n－1S_n－2S_n＋1＝0.①由(1)得S₁＝a₁＝，S₂＝a₁＋a₂＝＋＝.
由①可得S₃＝.由此猜想S_n＝，n＝1,2,3，….
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即S_k＝，当n＝k＋1时，由①得S_k＋1＝，即S_k＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知S_n＝对所有正整数n都成立．