题目内容

【题目】某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为x,求x≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?

【答案】
(1)解:由题意知,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人抽奖中奖与否互不影响,

记“他们的累计得分X≤3”的事件为A,则事件A的对立事件是“X=5”,

因为P(X=5)= ,∴P(A)=1﹣P(X=5)=

即他们的累计得分x≤3的概率为


(2)解:设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1

小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E(2X1

都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E(3X2

由已知可得,X1~B(2, ),X2~B(2, ),

∴E(X1)=2× = ,E(X2)=2× =

从而E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)=

由于E(2X1)>E(3X2),

∴他们选择甲方案抽奖,累计得分的数学期望较大


【解析】(1)记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A,则事件A的对立事件是“X=5”,由题意知,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人抽奖中奖与否互不影响,先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率,再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率.(2)设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1 , 甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2 , 则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).根据题意知X1~B(2, ),X2~B(2, ),利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E(2X1)>E(3X2),从而得出答案.

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