Question

设正数数列为等比数列，，记.
（1）求和；
（2）证明: 对任意的，有成立.

Answer 1

（1），；（2）详见解析.

试题分析：（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.
试题解析： （1）依题意可知，又，所以，从而，进而有 ．                                                        4分
（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立．      5分
②假设当时，不等式成立，即成立．           7分
那么当时，则左边右边             12分
所以当时，不等式也成立.
由①、②可得对任意的，都有恒成立．          14分
（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）