题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为
3
2
,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围;
(3)过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR的一边距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.
(1)由题意可得
2a=4
e=
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
,解得a2=4,b2=1,c=
3
.∴椭圆的标准方程为
x2
4
+y2=1

(2)直线l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2).联立
y=kx+2
x2+4y2=4
,化为(1+4k2)x2+16kx+12=0,由△=162k2-48(1+4k2)>0,解得k>
3
2
k<-
3
2
.∴x1+x2=
-16k
1+4k2
x1x2=
12
1+4k2

若∠AOB为锐角,则
OA
OB
>0
,得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0,代入得
12(1+k2)
1+4k2
+
-32k2
1+4k2
+4>0
,化为k2<4,解得-2<k<2.∴直线l的斜率k的取值范围为{x|-2<k<2}∩{x|k<-
3
2
k>
3
2
}={k|-2<k<-
3
2
3
2
<x<2
}.
(3)如图所示,设P(x1,y1),Q(x2,y2),S(-x1,-y1),R(-x2,-y2).
①当直线PS与QR的斜率都存在时,设直线PS:y=kx,则直线QR:y=-
1
k
x

联立
y=kx
b2x2+a2y2=a2b2
,解得
x21
=
a2b2
b2+a2k2
.(*)
联立
y=-
1
k
x
b2x2+a2y2=a2b2
,解得
x22
=
a2b2k2
a2+b2k2
.(**)
直线PR的斜率存在时,则直线PR:y-y1=
y2-y1
x2-x1
(x-x1)
,化为(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0.
∵d=1,∴
|x2y1-x1y2|
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=1

代入化为:(k+
1
k
)2
x21
x22
=k2
x21
+
1
k2
x22
+
x21
+
x22

把(*)(**)代入上式:
(k2+1)2
k2
a4b4k2
(a2+b2k2)(b2+a2k2)
=
a2b2k2
b2+a2k2
+
a2b2
a2+b2k2
+
a2b2
b2+a2k2
+
a2b2k2
a2+b2k2

化为a2b2=a2+b2
1
a2
+
1
b2
=1
为定值.
②当直线PS与QR的斜率有一个不存在时,直线PR的斜率不存在时,经验证上式也成立.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网