题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的顶点在原点，其焦点F在x轴的正半轴上，过点F作x轴的垂线与W交于A、B两点，且点A在第一象限，|AB|=8，过点B作直线BC与x轴交于点T（t，0）（t＞2），与抛物线交于点C．
（1）求抛物线W的标准方程；
（2）若t=6，曲线G：x2+y2-2ax-4y+a2=0与直线BC有公共点，求实数a的取值范围；
（3）若|OB|2+|OC|2≤|BC|2，求△ABC的面积的最大值．
（1）设抛物线的方程为y2=2px，（p＞0）
令x=
p
2
，得y2=p2
所以2p=|AB|=8
抛物线的方程为y2=8x．…（4分）
（2）若t=6即T（6，0），又B（2，-4），则直线BC的方程为x-y-6=0…（5分）
曲线G：（x-a）2+（y-2）2=4，是以（a，2）为圆心，2为半径的圆…（6分）
由题意
|a-2-6|
2
≤2，解得8-2
2
≤a≤8+2
2
．…（8分）
（3）直线BT的方程为y=
4
t-2
(x-t)，代入抛物线方程y2=8x，得：
2x2-（t2+4）x+2t2=0
因为t＞2，所以△=t4-8t2+16=（t2-4）2＞0．…（9分）
因为x=2是这个方程的一个根，设C（xC，yC）根据韦达定理2xC=t2，所以xC=
t2
2

再由抛物线方程可得yC=2t，即点C(
t2
2
，2t)．…（10分）
因为|OB|2+|OC|2≤|BC|2，所以∠BOC为钝角或直角
所以
OB
•
OC
≤0，即2xC-4yC≤0，t2-8t≤0，且t＞2，解得2＜t≤8．…（12分）
ABC的面积S△ABC=
1
2
|AB|•(xC-2)=2t2-8
所以当t=8时，S△ABC最大值为120．…．（14分）
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
3
2
，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；
（3）过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR的一边距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．
已知椭圆C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为P（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设抛物线C2：y=x2+h（h∈R）的焦点为F，过F点的直线l交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C2的切线交于Q点，且Q点在椭圆C1上，求△ABQ面积的最值，并求出取得最值时的抛物线C2的方程．
已知P是椭圆
x2
45
+
y2
20
=1的第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是（　　）
A．[-7，8]B．[-
9
2
，
21
2
]		C．[-2，2]D．（-∞，-7]∪[8，+∞）
在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），P为平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为-
1
4
，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若点D（0，2），点M，N是曲线C上的两个动点，且
DM
=λ
DN
，求实数λ的取值范围．
已知直线y=2x+b与曲线xy=2相交于A，B两点，若|AB|=5，则实数b的值是（　　）
A．2B．-2C．±2D．4
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F1、F2是其左右焦点，其离心率是
6
3
，P是椭圆上一点，△PF1F2的周长是2（
3
+
2
）．
（1）求椭圆的方程；
（2）试对m讨论直线y=2x+m（m∈R）与该椭圆的公共点的个数．
设F1(-1，0)，F2(1，0)，动点M满足|MF1|+|MF2|=2
2
．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=
7
7
(x-1)与曲线C交于A、B两点，求
F1A
•
F1B
的值．
在平面直角坐标系中，已知
a
=(2mx，y-1)，
b
=(2x，y+1)，其中m∈R，
a
⊥
b
，动点M（x，y）的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程，并说明该轨迹方程所表示曲线的形状；
（2）当m=
1
8
时，设过定点P（0，2）的直线l与轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

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