题目内容

已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,过右焦点F且斜率为
2
的直线l交椭圆E于两点A,B,若以原点为圆心,
6
3
为半径的圆与直线l相切
(1)求焦点F的坐标;
(2)以OA,OB为邻边的平行四边形OACB中,顶点C也在椭圆E上,求椭圆E的方程.
(1)F(c,0),直线l的方程为y=
2
(x-c)

6
3
=
|
2
c|
3
,所以c=1,所以F(1,0);
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
由已知
OC
=
OA
+
OB
得:x3=x1+x2,y3=y1+y2
y=
2
(x-1)
b2x2+a2y2=a2b2
⇒(b2+2a2)x2-4a2x+2a2-a2b2=0

所以
x1+x2=
4a2
b2+2a2
y1+y2=
2
(x1+x2-2)=
-2
2
b2
b2+2a2
,即
x3=
4a2
b2+2a2
y3=
2
(x1+x2-2)=
-2
2
b2
b2+2a2

点C在椭圆上,所以
(
4a2
b2+2a2
)
2
a2
+
(
-2
2
b2
b2+2a2
)
2
b2
=1

整理得:16a2+8b2=(2a2+b22
2a2+b2=8
a2=1+b2
a2=3
b2=2

所以椭圆方程为
x2
3
+
y2
2
=1

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