题目内容
已知定点F（2，0），动圆P经过点F且与直线x=-2相切，记动圆的圆心P的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A（x1，y1）、B（x1，y2）两点，O为坐标原点，点M为轨迹C上一点，若向量
=
+λ
，求λ的值．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A（x1，y1）、B（x1，y2）两点，O为坐标原点，点M为轨迹C上一点，若向量
| OM |
| OA |
| OB |
（Ⅰ）∵动圆P经过点F且与直线x=-2相切，
∴P到F的距离等于P到直线x=-2的距离
∴圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线
∴轨迹C的方程为y2=8x；
（Ⅱ）设M（x，y），则直线l的方程为y=
（x-2）
代入y2=8x得：3x2-20x+12=0
∴x1=
，x2=6
∴y1=-
，y2=4
∵
=
+λ
，
∴x=x1+λx2，y=y1+λy2，
∴x=
+6λ，y=-
+4
λ
∵点M为轨迹C上一点，∴y2=8x，
∴（-
+4
λ）2=8（
+6λ）
∴3λ2-5λ=0
∴λ=
或0．
∴P到F的距离等于P到直线x=-2的距离
∴圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线
∴轨迹C的方程为y2=8x；
（Ⅱ）设M（x，y），则直线l的方程为y=
| 3 |
代入y2=8x得：3x2-20x+12=0
∴x1=
| 2 |
| 3 |
∴y1=-
4
| ||
| 3 |
| 3 |
∵
| OM |
| OA |
| OB |
∴x=x1+λx2，y=y1+λy2，
∴x=
| 2 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| 3 |
∵点M为轨迹C上一点，∴y2=8x，
∴（-
4
| ||
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴3λ2-5λ=0
∴λ=
| 5 |
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