题目内容

如图，抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，C1与C2在第一象限的交点为P（
3
，
1
2
）
（1）求抛物线C1及椭圆C2的方程；
（2）已知直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C2交于不同两点A、B，点M满足
AM
+
BM
=
0
，直线FM的斜率为k1，试证明k•k1＞
-1
4
．
（1）将P（
3
，
1
2
）代入x2=2py得p=3，∴抛物线C1的方程为x2=6y，焦点F（0，
3
2
）
把P（
3
，
1
2
）代入
x2
a2
+
y2
b2
=1得
3
a2
+
1
4b2
=1，又e=
3
2
，∴a=2，b=1故椭圆C2的方程为
x2
4
+
y2
1
=1
（2）由直线l：y=kx+t与
x2
4
+
y2
1
=1联立得（1+4k2）x2+8ktx+4（t2-1）=0，△＞0得1+4k2＞t2
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=
-8kt
1+4k2

由题意点M为线段AB的中点，设M（xM，yM），
∴xM=
-4kt
1+4k2
，yM=
t
1+4k2
，
∴k1=
2t-3(1+4k2)
-8kt
∴kk1＞
3t2-2t
8t
=
3t-2
8
＞-
1
4
练习册系列答案
相关题目
如图，已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：2
OD
=
OF
+
OP
（O为原点）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B的直线l交双曲线于M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使?
CM
•
CN
为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
3
2
，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；
（3）过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR的一边距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．
三角形ABC的两顶点A（-2，0），B（0，-2），第三顶点C在抛物线y=x2+1上，求三角形ABC的重心G的轨迹．
[理]如图，已知动点A，B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则△ABN的周长l的取值范围是______．
[文]点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是______．
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上．若椭圆上的点A(1，
3
2
)到焦点F1、F2的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标．
（2）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，当△OMN的面积取得最大值时，求直线MN的方程．
已知椭圆C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为P（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设抛物线C2：y=x2+h（h∈R）的焦点为F，过F点的直线l交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C2的切线交于Q点，且Q点在椭圆C1上，求△ABQ面积的最值，并求出取得最值时的抛物线C2的方程．
已知P是椭圆
x2
45
+
y2
20
=1的第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是（　　）
A．[-7，8]B．[-
9
2
，
21
2
]		C．[-2，2]D．（-∞，-7]∪[8，+∞）
设F1(-1，0)，F2(1，0)，动点M满足|MF1|+|MF2|=2
2
．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=
7
7
(x-1)与曲线C交于A、B两点，求
F1A
•
F1B
的值．

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