题目内容

椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B．点P双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点．若△ACD与△PCD的面积相等．
（1）求P点的坐标；
（2）能否使直线CD过椭圆C1的右焦点，若能，求出此时双曲线C2的离心率，若不能，请说明理由．
（1）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．
∵S△ACD=S△PCD，
∴C为AP的中点，∴C(
x0-a
2
，
y0
2
)．
将C点坐标代入椭圆方程，得
(x0-a)2
a2
+
y20
b2
=4，
又
x20
a2
-
y20
b2
=1⇒
(x0-a)2
a2
+
x20
a2
=5，
∴x0=2a（x0=-a舍去），
∴y0=
3
b，
∴P(2a，
3
b)．
（2）∵KPD=KPB=
y0
x0-a
=
3
b
a
，
直线PD：y=
3
b
a
(x-a)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1⇒2x2-3ax+a2=0
∴xD=
a
2
(xD=a舍去)，
∴C(
x0-a
2
，
y0
2
)，即C(
a
2
，
3
2
b)
∴CD垂直于x轴．若CD过椭圆C1的右焦点，则
a
2
=
a2-b2
，
∴b=
3
2
a，
∴e=
a2+b2
a
=
7
2
．故可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为
7
2
．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y1y2的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2．证明：
k1
k2
为定值．
过双曲线x2-y2=1上一点Q作直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为（　　）
A．2x2-2y2-2x-1=0B．x2+y2=1
C．2x2+2y2-y=0D．2x2-2y2-2x+2y-1=0
如图，已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：2
OD
=
OF
+
OP
（O为原点）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B的直线l交双曲线于M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使?
CM
•
CN
为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A、B两点，且
OA
•
OB
=0（O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．
（文科）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．
已知抛物线x2=4
3
y的准线过双曲线
x2
m2
-y2=-1的一个焦点，则双曲线的离心率为（　　）
A．
3
2
4
B．
6
2
C．
3
D．
3
3
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
3
2
，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；
（3）过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR的一边距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．
已知椭圆C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为P（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设抛物线C2：y=x2+h（h∈R）的焦点为F，过F点的直线l交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C2的切线交于Q点，且Q点在椭圆C1上，求△ABQ面积的最值，并求出取得最值时的抛物线C2的方程．

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