题目内容
【题目】如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC= AA1 , D是棱AA1的中点,DC1⊥BD
(1)证明:DC1⊥BC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣C1的大小.
【答案】
(1)证明:在Rt△DAC中,AD=AC,∴∠ADC=45°
同理:∠A1DC1=45°,∴∠CDC1=90°
∴DC1⊥DC,DC1⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC1⊥面BCD
∵BC面BCD
∴DC1⊥BC
(2)解:∵DC1⊥BC,CC1⊥BC,DC1∩CC1=C1,∴BC⊥面ACC1A1,
∵AC面ACC1A1,∴BC⊥AC
取A1B1的中点O,过点O作OH⊥BD于点H,连接C1O,OH
∵A1C1=B1C1,∴C1O⊥A1B1,
∵面A1B1C1⊥面A1BD,面A1B1C1∩面A1BD=A1B1,
∴C1O⊥面A1BD
而BD面A1BD
∴BD⊥C1O,
∵OH⊥BD,C1O∩OH=O,
∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD,∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角
设AC=a,则 ,
,
∴sin∠C1DO=
∴∠C1DO=30°
即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°
【解析】(1)证明DC1⊥BC,只需证明DC1⊥面BCD,即证明DC1⊥DC,DC1⊥BD;(2)证明BC⊥面ACC1A1 , 可得BC⊥AC取A1B1的中点O,过点O作OH⊥BD于点H,连接C1O,C1H,可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角,由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小.
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本,需要知道相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点.
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