Question

【题目】已知数列{an}（n=1，2，3，…）满足an+1=2an ， 且a1 ， a2+1，a3成等差数列，设bn=3log2an﹣7．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{|bn|}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=2an，可得{an}为等比数列，其公比为2，

a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（1+a2）=a1+a3，

即为2（1+2a1）=a1+4a1，解得a1=2，

即有an=a1qn﹣1=2n；

bn=3log2an﹣7=33log22n﹣7=3n﹣7；

（2）解：由bn=3n﹣7，可得{bn}的前n项和为Sn= n（3n﹣11），

当1≤n≤2时，bn＜0，即有Tn=﹣Sn═ n（11﹣3n）；

当n≥3，n∈N，可得Tn=Sn﹣S2﹣S2= n（3n﹣11）+10= ．

综上可得，Tn= ．

【解析】（1）由等比数列的定义可得公比为2，再由等差数列的中项的性质，解方程可得首项为2，可得数列{an}的通项公式；再由对数的运算性质可得{bn}的通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，对n讨论，当1≤n≤2时，bn＜0，即有Tn=﹣Sn；当n≥3，n∈N，可得Tn=Sn﹣2S2 ， 化简整理即可得到所求和．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．