题目内容
【题目】如图,椭圆E: 的左焦点为F1 , 右焦点为F2 , 离心率e=
.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆E的方程.
(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)∵过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
∴4a=8,∴a=2
∵e= ,∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆E的方程为 .
(Ⅱ)由 ,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0 , y0)
∴m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此时x0= =
,y0=
,即P(
,
)
由 得Q(4,4k+m)
取k=0,m= ,此时P(0,
),Q(4,
),以PQ为直径的圆为(x﹣2)2+(y﹣
)2=4,交x轴于点M1(1,0)或M2(3,0)
取k=- ,m=2,此时P(1,
),Q(4,0),以PQ为直径的圆为(x﹣
)2+(y﹣
)2=
,交x轴于点M3(1,0)或M4(4,0)
故若满足条件的点M存在,只能是M(1,0),证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M(1,0)
方法二:
假设平面内存在定点M满足条件,因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M,所以当PQ平行于x轴时,圆也过定点M,即此时P点坐标为(0, )或(0,﹣
),由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点,即点M必在x轴上.设M(x1 , 0),则
=0对满足①式的m,k恒成立.
因为 =(
﹣x1 ,
),
=(4﹣x1 , 4k+m),由
=0得﹣
+
﹣4x1+x12+
+3=0,
整理得(4x1﹣4) +x12﹣4x1+3=0.②
由于②式对满足①式的m,k恒成立,所以 ,解得x1=1.
故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.
【解析】(Ⅰ)根据过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8,可得4a=8,即a=2,利用e= ,b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆E的方程.(Ⅱ)由
,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,利用动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0 , y0),可得m≠0,△=0,进而可得P(
,
),由
得Q(4,4k+m),取k=0,m=
;k=-
,m=2,猜想满足条件的点M存在,只能是M(1,0),再进行证明即可.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
才能正确解答此题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】石嘴山三中最强大脑社对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据
x | 6 | 8 | 10 | 12 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ,预测记忆力为9的同学的判断力.
(2)若记忆力增加5个单位,预测判断力增加多少个单位?
参考公式: