题目内容

【题目】如图,椭圆E: 的左焦点为F1 , 右焦点为F2 , 离心率e= .过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆E的方程.
(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)∵过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
∴4a=8,∴a=2
∵e= ,∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆E的方程为
(Ⅱ)由 ,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0 , y0
∴m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此时x0= = ,y0= ,即P(
得Q(4,4k+m)
取k=0,m= ,此时P(0, ),Q(4, ),以PQ为直径的圆为(x﹣2)2+(y﹣ 2=4,交x轴于点M1(1,0)或M2(3,0)
取k=- ,m=2,此时P(1, ),Q(4,0),以PQ为直径的圆为(x﹣ 2+(y﹣ 2= ,交x轴于点M3(1,0)或M4(4,0)
故若满足条件的点M存在,只能是M(1,0),证明如下


故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M(1,0)
方法二:
假设平面内存在定点M满足条件,因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M,所以当PQ平行于x轴时,圆也过定点M,即此时P点坐标为(0, )或(0,﹣ ),由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点,即点M必在x轴上.设M(x1 , 0),则 =0对满足①式的m,k恒成立.
因为 =( ﹣x1 ),
=(4﹣x1 , 4k+m),由 =0得﹣ + ﹣4x1+x12+ +3=0,
整理得(4x1﹣4) +x12﹣4x1+3=0.②
由于②式对满足①式的m,k恒成立,所以 ,解得x1=1.
故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.
【解析】(Ⅰ)根据过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8,可得4a=8,即a=2,利用e= ,b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆E的方程.(Ⅱ)由 ,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,利用动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0 , y0),可得m≠0,△=0,进而可得P( ),由 得Q(4,4k+m),取k=0,m= ;k=- ,m=2,猜想满足条件的点M存在,只能是M(1,0),再进行证明即可.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.

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