题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,四边形
是直角梯形,
.
(1)求二面角的余弦值;
(2)设是棱
上一点,
是
的中点,若
与平面
所成角的正弦值为
,求线段
的长.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)建立空间坐标系:则,
,
,
,所以
,
,
.设平面
的法向量为
,由
,
,得
且
.取
,得
,
,
所以是平面
的一个法向量.因为
平面ABC,取平面ABC的一个法向量
.设二面角
的大小为
,所以
,(2)由(1)知
,则
,
.设
(
),则
,
所以.易知
平面
,所以
是平面
的一个法向量.设
与平面
所成的角为
,所以
, 即
试题解析:
(1)以D为坐标原点,建立如图所示空间
直角坐标系,
则,
,
,
,
所以,
,
.
设平面的法向量为
,
由,
,得
且
.
取,得
,
,
所以是平面
的一个法向量.
因为平面ABC,取平面ABC的一个法向量
.
设二面角的大小为
,所以
,
由图可知二面角为锐二面角,所以二面角
的余弦值为
.
(2)由(1)知,则
,
.
设(
),则
,
所以.
易知平面
,所以
是平面
的一个法向量.
设与平面
所成的角为
,
所以, 即
,得
或
(舍).所以
,
,所以线段
的长为
.
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