Question

【题目】已知点A（﹣2，0），B（2，0），P（x0 ， y0）是直线y=x+3上任意一点，以A，B为焦点的椭圆过P，记椭圆离心率e关于x0的函数为e（x0），那么下列结论正确的是（ ）
A.e与x0一一对应
B.函数e（x0）无最小值，有最大值
C.函数e（x0）是增函数
D.函数e（x0）有最小值，无最大值

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由题意可得c=2，椭圆离心率 ．
故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．
由椭圆的定义可得|PA|+|PB|=2a， ，
由于|PA|+|PB|有最小值而没有最大值，
即a有最小值而没有最大值，故椭圆离心率e有最大值而没有最小值，故B正确，且D不正确．
当直线y=x+3和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，都等于2a，
故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确．
由于当x0的取值趋于负无穷大时，|PA|+|PB|=2a趋于正无穷大；
而当x0的取值趋于正无穷大时，|PA|+|PB|=2a也趋于正无穷大，
故函数e（x0）不是增函数，故C不正确．
故选B．