Question

【题目】如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1 ， M、N分别为BB1、A1C1的中点．
（Ⅰ）求证：CB1⊥平面ABC1；
（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC1 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

侧面BB1C1C⊥底面ABC，且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC，

∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，

∴AB⊥平面BB1C1

∵CB1平面BB1C1C，∴AB⊥CB1．

∵BC=CC1，CC1⊥BC，∴BCC1B1是正方形，

∴CB1⊥BC1，

∵AB∩BC1=B，∴CB1⊥平面ABC1．

（Ⅱ）取AC1的中点F，连BF、NF．

在△AA1C1中，N、F是中点，

∴NF AA1，

又∵正方形BCC1B1中BM AA1，

∴NF∥BM，且NF=BM

故四边形BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，

∵BF面ABC1，MN平面ABC1，

∴MN∥面ABC1

【解析】（I）根据直三棱柱的性质，利用面面垂直性质定理证出AB⊥平面BB1C1，得出AB⊥CB1．正方形BCC1B1中，对角线CB1⊥BC1，由线面垂直的判定定理可证出CB1⊥平面ABC1；（II）取AC1的中点F，连BF、NF，利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出EF∥BM且EF=BM，从而得到BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，结合线面平行判定定理即可证出MN∥面ABC1．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．