Question

9．设函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_2}x}&{x＞0}\\{{{log}_2}（1-x）}&{x≤0}\end{array}}\right.$，且对任意x∈R，x≠0，f（ax）＜f（x）恒成立，则实数a的取值范围是0＜a＜1．

Answer 1

分析 对参数a分类讨论：当a=0时，f（ax）=f（0）=0，显然不成立，故a≠0；
当a＞0时和a＜0时，对分段函数分别讨论，得出a的范围．

解答 解：当a=0时，f（ax）=f（0）=0，显然不成立，故a≠0；
当a＞0时，函数f（ax）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}ax\\;x＞0}\\{lo{g}_{2}（1-ax）\\;x＜0}\end{array}\right.$，且f（ax）＜f（x）恒成立，
∴ax＜x，1-ax＜1-x恒成立，
∴0＜a＜1；
当a＜0时，f（ax）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-ax）\\;x＞0}\\{lo{g}_{2}ax\\;x＜0}\end{array}\right.$，
∴1-ax＜x，ax＜1-x恒成立，显然不成立；
故答案为0＜a＜1．

点评 考查了分段函数和恒成立问题．理解恒成立的含义．