题目内容
19.已知集合A={x|log4x<-1},B={x|x≤$\frac{1}{2}$},命题p:?x∈A,2x<3x;命题q:?x∈B,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )A. | p∧q | B. | p∧¬q | C. | ¬p∧q | D. | ¬p∧¬q |
分析 求解对数不等式化简集合A,结合指数函数的性质说明P正确,利用导数判断函数f(x)=x3+x2-1在x≤$\frac{1}{2}$时无零点,说明q错误,由此可得答案.
解答 解:∵A={x|log4x<-1}={x|0<x<$\frac{1}{4}$},
∴命题p:?x∈A,2x<3x为真命题;
∵B={x|x≤$\frac{1}{2}$},
令f(x)=x3+x2-1,f′(x)=3x2+2x,
∴f(x)在(-∞,$-\frac{2}{3}$),(0,$\frac{1}{2}$)上为增函数,在($-\frac{2}{3},0$)上为减函数.
又f(-$\frac{2}{3}$)=-$\frac{23}{27}<0$,f($\frac{1}{2}$)=$-\frac{5}{8}<0$,
∴当x≤$\frac{1}{2}$时,f(x)<0,即命题q:?x∈R,x3=1-x2为假命题.
∴p∧¬q为真命题.
故选:B.
点评 本题考查命题的真假判断与应用,考查函数零点的判定方法,属中档题.
练习册系列答案
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7.已知幂函数f(x)的图象经过点($\sqrt{3}$,3),则f(2)的值是( )
A. | 4 | B. | 2 | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
4.平面内到两定点F1、F2的距离之比等于常数m(m>0且m≠1)的点的轨迹称为阿波罗尼斯圆,已知曲线C是平面内到两定点F1(-1,0),F2(1,0)距离之比等于常数m(m>0,m≠1)的点的轨迹,下面选项正确的是( )
A. | 曲线C关于坐标原点对称 | B. | 曲线C关于y轴对称 | ||
C. | 曲线C关于x轴对称 | D. | 曲线C过坐标原点 |