Question

4．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足：对所有实数x都有f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；      
（2）求f（x）在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）二次函数f（x）=ax²+bx+c代入f（x+1）-f（x）=2x，根据系数对应相等可求a，b，而f（0）=1，进而可求f（x）；
（2）利用配方法，结合函数的单调性，即可求f（x）在[0，2]上的值域．

解答 解：（1）：∵f（x）=ax²+bx+c，
∴f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，即f（x）=x²-x+c，
又∵f（0）=1，
∴c=1，则f（x）=x²-x+1；
（2）f（x）=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴函数在[0，$\frac{1}{2}$]上单调递减，在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
∴f（x）_min=$\frac{3}{4}$，f（x）_max=3，
∴$f（x）在[0，2]上的值域为[\frac{3}{4}，3]$．

点评 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用．属于中档题．