Question

1．已知F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF₂是面积为$\sqrt{3}$的正三角形，则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4+2\sqrt{3}}$+$\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{3}}$=1．

Answer 1

分析 不妨设P在第一象限，F₂（c，0），由等边三角形的面积公式可得c=2，得到P的坐标，再由椭圆的定义，可得a，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．

解答 解：不妨设P在第一象限，F₂（c，0），
由△POF₂是面积为$\sqrt{3}$的正三角形，可得
$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²=$\sqrt{3}$，解得c=2，
即有P（1，$\sqrt{3}$），F₁（-2，0），F₂（2，0），
由椭圆的定义可得，
2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（1+2）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}$+$\sqrt{（1-2）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}$
=2+2$\sqrt{3}$，
解得a=1+$\sqrt{3}$，
则b²=a²-c²=4+2$\sqrt{3}$-4=2$\sqrt{3}$，
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4+2\sqrt{3}}$+$\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{3}}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4+2\sqrt{3}}$+$\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{3}}$=1．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，解题的关键是运用等边三角形的面积公式求得边长，得到P的坐标，同时运用椭圆的定义．