Question

【题目】已知函数f（x）=2x﹣ ，且f（2）= ．
（1）求实数a的值；
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x﹣ ，且f（2）= ，

∴4﹣ = ，

∴a=﹣1

（2）解：由（1）得函数 ，定义域为{x|x≠0}关于原点对称

∵ = ，

∴函数 为奇函数

（3）解：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，

任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则 =

∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（1，+∞）上是增函数

【解析】（1）利用f（x）=2x﹣ ，且f（2）= ，求实数a的值；（2）利用奇偶函数的定义判断该函数的奇偶性；（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，利用定义进行证明．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数的奇偶性，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能得出正确答案．