题目内容
【题目】设函数,
=
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数有两个零点
.
(1)求满足条件的最小正整数的值;
(2)求证: .
【答案】(Ⅰ)的单调增区间为
,单调减区间为
;
(Ⅱ)(1)3;(2)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)求单调区间,只要求得导数,通过讨论
的范围(
和
)可解不等式
和不等式
,从而得单调区间;
(Ⅱ)(1)求得,由
有两个零点得
,
的最小值为
,且
, 由此可得
,由函数
是增函数,通过估值可得最小正整数
的值;(2)证明
,设
,由
,可把
用
表示,不等式
中的
可替换,然后变形为
的不等式,设
,则
,只要证相应地关于
的不等式在
上成立,这又可用导数研究相应的函数得出.
试题解析:
(Ⅰ).
当时,
在
上恒成立,所以函数
单调递增区间为
,
此时 无单调减区间.
当时,由
,得
,
,得
,
所以函数的单调增区间为
,单调减区间为
.
(Ⅱ)(1).
因为函数有两个零点,所以
,此时函数
在
单调递增, 在
单调递减.
所以的最小值
,即
.
因为,所以
.
令,显然
在
上为增函数,且
,所以存在
.
当时,
;当
时,
,所以满足条件的最小正整数
.
又当时,
,所以
时,
有两个零点.
综上所述,满足条件的最小正整数的值为3.
(2)证明 :不妨设,于是
即,
.
所以.
因为,当
时,
,当
时,
,
故只要证>
即可,即证明
,
即证,
也就是证.
设.
令,则
.
因为,所以
,
当且仅当时,
,
所以在
上是增函数.
又,所以当
总成立,所以原题得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】中石化集团获得了某地深海油田块的开采权,集团在该地区随机初步勘探了部分几口井,取得了地质资料,进入全面勘探时期后,集团按网络点米布置井位进行全面勘探,由于勘探一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口断井,以节约勘探费用,勘探初期数据资料见下表:
井号 | ||||||
坐标 | ||||||
钻探深度 | ||||||
出油量 |
(1)~
号旧井位置线性分布,借助前5组数据求得回归直线方程为
,求
,并估计
的预报值;
(2)现准备勘探新井,若通过
号并计算出的
的值(
精确到
)与(1)中
的值差不超过
,则使用位置最接近的已有旧井
,否则在新位置打开,请判断可否使用旧井?
(参考公式和计算结果:)
(3)设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井,那么在原有
口井中任意勘探
口井,求勘探优质井数
的分布列与数学期望.
【题目】上世纪八十年代初, 邓小平同志曾指出“在人才的问题上,要特别强调一下,必须打破常规去发现、选拔和培养杰出的人才”. 据此,经省教育厅批准,某中学领导审时度势,果断作出于1985年开始施行超常实验班教学试验的决定.一时间,学生兴奋,教师欣喜,家长欢呼,社会热议.该中学实验班一路走来,可谓风光无限,硕果累累,尤其值得一提的是,1990年,全国共招收150名少年大学生,该中学就有19名实验班学生被录取,占全国的十分之一,轰动海内外.设该中学超常实验班学生第x年被录取少年大学生的人数为y.
左下表为该中学连续5年实验班学生被录取少年大学生人数,求y关于x的线性回归方程,并估计第6年该中学超常实验班学生被录取少年大学生人数;
年份序号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
录取人数y | 10 | 11 | 14 | 16 | 19 |
附1:
下表是从该校已经毕业的100名高中生录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育得到
2×2列联表,完成上表,并回答:是否有95%以上的把握认为“录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育有关系”.
附2:
接受超常实验班教育 | 未接受超常实验班教育 | 合计 | |
录取少年大学生 | 60 | 80 | |
未录取少年大学生 | 10 | ||
合计 | 30 | 100 |
0.50 | 0.40 | 0.10 | 005 | |
0.455 | 0.708 | 2.706 | 3.841 |