题目内容

8.已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数,数列{yn}满足$\frac{{y}_{n}}{lo{g}_{a}{x}_{n}}$=2(a>0,a≠1).设y3=18,y6=12.
(1)证明{yn}为等差数列;
(2)求数列{yn}的前n项和的最大值?

分析 (1)根据等差数列与等比数列的定义,利用对数的性质,即可证明数列{yn}是等差数列;
(2)利用等差数列的通项公式或前n项和公式,即可求出n为何值时,前n项和Sn取得最大值.

解答 解:(1)等比数列{xn}中,xn≠1,且xn>0,
数列{yn}满足$\frac{{y}_{n}}{lo{g}_{a}{x}_{n}}$=2(a>0,a≠1),
∴yn=2logaxn,yn+1=2logaxn+1
∴yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn
=2loga$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$
=2logaq为常数,
∴数列{yn}是等差数列;
(2)在等差数列{yn}中,y3=18,y6=12,
∴y6-y3=3d=-6,
∴公差d=-2;
∴首项y1=y3-2d=18-2×(-2)=22,
∴通项公式为yn=22+(n-1)•(-2)=24-2n,
其前n项和为Sn=n•22+$\frac{1}{2}$n(n-1)•(-2)=-n2+23n;
∴当n=11.5,即n=11或n═12时,
其前n项和Sn取得最大值,是
S11=S12=$\frac{12×(22+0)}{2}$=132.

点评 本题考查了对数函数的性质与应用问题,也考查了等差与等比数列的通项公式与前n项和公式的应用问题,是基础题目.

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