Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=4S_n-1（n∈N^*）
（1）证明：a_n+2-a_n=4．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a_na_n+1=4S_n-1，可得当n≥2时，a_n-1a_n=4S_n-1-1，a_n≠0，两式相减可得a_n+1-a_n-1=4；
（2）由（1）可得数列{a_n}的奇数项与偶数项分别为等差数列，进而得出数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：∵a_na_n+1=4S_n-1，∴当n≥2时，a_n-1a_n=4S_n-1-1，a_na_n+1-a_n-1a_n+1=4a_n，
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=4，
（2）解：当n=1时，a₁a₂=4a₁-1，
∵a₁=1，解得a₂=3，
由a_n+1-a_n-1=4，可知数列{a_n}的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为4，首项分别为1，3．
∴当n=2k-1（k∈N^*）时，a_n=a_2k-1=1+4（k-1）=4k-3=2n-1；
当n=2k（k∈N^*）时，a_n=a_2k=3+4（k-1）=2n-1．
∴a_n=2n-1．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．