题目内容

3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且满足an+1=(p-1)Sn+2,其中常数p>1.
(Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)若p=4,数列{bn}满足bn=$\frac{1}{n}lo{g}_{2}({a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n})$,求数列{bn}的通项公式.

分析 (Ⅰ)通过an+1=(p-1)Sn+2与an=(p-1)Sn-1+2作差、整理可知an+1=pan,进而可知数列{an}是以2为首项、p为公比的等比数列;
(Ⅱ)通过(I)及p=4计算可知an=22n-1,利用指数的运算性质可知a1a2…an=${2}^{{n}^{2}}$,通过对数的性质可知bn=n.

解答 (Ⅰ)证明:∵an+1=(p-1)Sn+2,
∴an=(p-1)Sn-1+2,
两式相减得:an+1-an=(p-1)an
整理得:an+1=pan
又∵a1=2,p>1,
∴数列{an}是以2为首项、p为公比的等比数列;
(Ⅱ)解:由(I)可知an=2•pn-1
又∵p=4,
∴an=2•4n-1=2•22n-2=22n-1
∵a1a2…an=21•23•…•22n-1
=21+3+…+(2n-1)
=${2}^{\frac{n(1+2n-1)}{2}}$
=${2}^{{n}^{2}}$,
∴bn=$\frac{1}{n}lo{g}_{2}({a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n})$
=$\frac{1}{n}$$lo{g}_{2}{2}^{{n}^{2}}$
=$\frac{{n}^{2}}{n}$
=n.

点评 本题考查等比数列的判定及数列的通项,涉及对数的运算性质,注意解题方法的积累,属于中档题.

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