题目内容
【题目】已知
为坐标原点，椭圆
的右焦点为
，离心率为
，过点
的直线
与
相交于
两点，点
为线段
的中点.
（1）当的倾斜角为
时，求直线
的方程；
（2）试探究在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在；定点
【解析】
（1）由题得
，解得
，由
，得
，可得椭圆方程,与直线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，进而可得直线
的方程；（2）直线
的斜率不为0时，设
，直线的方程为
，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合平面向量数量积公式可得在x轴上存在定点
，使得
为定值，再验证直线的斜率为0的情况即可.
（1）由题得，解得，由，得，故椭圆方程为
，
设
，易知直线的方程为
，由
，得
，
于是
，
从而
，故
，
所以直线的方程为.
（2）①当直线的斜率不为0时，设，直线的方程为，
由
，得
，所以
所以
，
由
，得
，故此时点，
；
②当直线的斜率为0时，
.
综上，在x轴上存在定点，使得为定值.
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