题目内容
【题目】已知为坐标原点,椭圆
的右焦点为
,离心率为
,过点
的直线
与
相交于
两点,点
为线段
的中点.
(1)当的倾斜角为
时,求直线
的方程;
(2)试探究在轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在;定点
【解析】
(1)由题得,解得
,由
,得
,可得椭圆方程,与直线方程联立,利用韦达定理求出中点坐标,进而可得直线
的方程;(2)直线
的斜率不为0时,设
,直线的方程为
,与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合平面向量数量积公式可得在x轴上存在定点
,使得
为定值,再验证直线
的斜率为0的情况即可.
(1)由题得,解得
,由
,得
,故椭圆方程为
,
设,易知直线
的方程为
,由
,得
,
于是,
从而,故
,
所以直线
的方程为
.
(2)①当直线的斜率不为0时,设
,直线的方程为
,
由,得
,所以
所以
,
由,得
,故此时点
,
;
②当直线的斜率为0时,
.
综上,在x轴上存在定点,使得
为定值.
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