题目内容
【题目】定义:若函数在区间
上的值域为
,则称区间
是函数
的“完美区间”,另外,定义区间
的“复区间长度”为
,已知函数
,则( )
A.是
的一个“完美区间”
B.是
的一个“完美区间”
C.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
【答案】AC
【解析】
根据定义,当时求得
的值域,即可判断A;对于B,结合函数值域特点即可判断;对于C、D,讨论
与
两种情况,分别结合定义求得“复区间长度”,即可判断选项.
对于A,当时,
,则其值域为
,满足定义域与值域的范围相同,因而满足“完美区间”定义,所以A正确;
对于B,因为函数,所以其值域为
,而
,所以不存在定义域与值域范围相同情况,所以B错误;
对于C,由定义域为,可知
,
当时,
,此时
,所以
在
内单调递减,
则满足,化简可得
,
即,所以
或
,
解得(舍)或
,
由解得
或
(舍),
所以,经检验满足原方程组,所以此时完美区间为
,则“复区间长度”为
;
当时,①若
,则
,此时
.当
在
的值域为
,则
,因为
,所以
,即满足
,解得
,
(舍).所以此时完美区间为
,则“复区间长度”为
;
②若,则
,
,此时
在
内单调递增,若
的值域为
,则
,则
为方程
的两个不等式实数根,
解得,
, 所以
,与
矛盾,所以此时不存在完美区间.
综上可知,函数的“复区间长度”的和为
,所以C正确,D错误;
故选:AC.
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