Question

【题目】如图（1），等腰梯形，，，，、分别是的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点，如图（2）.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理，先证明面，再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；

（2）过作于，过作BE的平行线交AB于，得到面，又，EF，所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，用空间向量的方法，分别求出平面和平面的法向量，计算向量夹角余弦值，即可求出结果.

（1）因为，是的两个三等分点，易知，是正方形，故，

又，且，所以面，

又面，所以面.

（2）过作于，过作BE的平行线交AB于，则面，

又，EF，所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，，

设平面的法向量为，

则，∴，，

设平面的法向量为，

则，∴，，

因此，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.