Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆C满足：圆心在轴上，且与圆相外切.设圆C与轴的交点为M，N，若圆心C在轴上运动时，在轴正半轴上总存在定点，使得为定值，则点的纵坐标为_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

设C（c，0），P（0，p），（p＞0），圆C半径为r，用c、p、r表示∠OPM，∠OPN的正切值，再利用两角差的正切公式表示∠MPN的正切值，分析该值为定值的条件可确定P的坐标．

解：

如图，设C（c，0），P（0，p），（p＞0）圆C半径为r，

则OM＝c﹣r，ON＝c+r，OP＝p，

∴tan∠OPM＝，

tan∠OPN＝，

∴tan∠MPN＝tan（∠OPN﹣∠OPM）

＝

＝，

由两圆外切可知，r+1＝，

得c2＝r2+2r﹣3，

∴tan∠MPN＝

＝，

∵上式为与无关的定值，

∴p2﹣3＝0，

∴p＝．

故答案为：