Question

【题目】设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=kn2+n，n∈N* ， 其中k是常数．若对于任意的m∈N* ， am ， a2m ， a4m成等比数列，则k的值为 ．

Answer 1

【答案】k=0或k=1
【解析】解：（1）由题意当n=1，a1=S1=k+1，
当n≥2，an=Sn﹣Sn﹣1=kn2+n﹣[k（n﹣1）2+（n﹣1）]=2kn﹣k+1（*）．
经检验，n=1时（*）式成立，
∴an=2kn﹣k+1．
·（2）∵am ， a2m ， a4m成等比数列，
∴a2m2=ama4m ，
即（4km﹣k+1）2=（2km﹣k+1）（8km﹣k+1），
整理得：mk（k﹣1）=0，对任意的m∈N*成立，
∴k=0或k=1．
所以答案是：k=0或k=1．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的基本性质的相关知识，掌握{an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列．