题目内容
18.一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M,N分别是AF,BC的中点)(1)求证:MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A-CDEF的体积.
分析 由三视图可知:平面ABCD⊥平面ABFE,AD⊥平面ABFE,四边形ABCD是边长为2的正方形,底面ABFE是边长为2的正方形,M,N分别为AF,BC的中点.
(1)取BF的中点P,连接MP,NP.又M,N分别为AF,BC的中点.利用三角形中位线定理、面面平行的判定定理可得:平面MNP∥平面CDEF,即可证明MN∥平面CDEF.
(2)作AQ⊥DE,垂足为Q,利用线面垂直的判定与性质定理可得:AQ⊥平面CDEF.即可得出多面体A-CDEF的体积.
解答 解:由三视图可知:平面ABCD⊥平面ABFE,AD⊥平面ABFE.
四边形ABCD是边长为2的正方形,底面ABFE是边长为2的正方形,M,N分别为AF,BC的中点.
(1)证明:取BF的中点P,连接MP,NP.
又M,N分别为AF,BC的中点.
∴NP∥CF,MP∥AB,
又AB∥EF,
可得MP∥EF.
又MP∩NP=P,MP?平面CDEF,NP?平面CDEF.
∴平面MNP∥平面CDEF;
∴MN∥平面CDEF.
(2)解:作AQ⊥DE,垂足为Q,
∵AD⊥平面ABFE,∴AD⊥EF.
又FE⊥AE,AD∩AE,
∴FE⊥平面ADE,
∴FE⊥AQ,
∴AQ⊥平面CDEF.
∵S四边形CDEF=EF•DE=4×$2\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$.
∴AQ=$\frac{4×4}{4\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$.
∴VA-CDEF=$\frac{1}{3}×4×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{64}{3}$.
点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定及其性质定理、二面角、四棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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