题目内容
【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)若函数在
处的切线平行于直线
,求实数
的值;
(Ⅱ)讨论在
上的单调性;
(Ⅲ)若存在,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)见解析;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)求出导数,由导数的几何意义,得
,可解得
值;
(Ⅱ),由于
,可分类
和
,分别得单调区间;
(Ⅲ)问题可转化为的最小值
,解之可得
的范围,因此此时关键是求得
的最小值.这可由导数的知识求解.
试题解析:
(Ⅰ)∵,函数
在
处的切线平行于直线
,
∴,∴
.
(Ⅱ),若
,当
时,
,
在
上单调递增;
当时,
,解得
,
,
;
,
,则
在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅲ)当时,
,则不存在
,使得
成立,
当时,
,
若,则
,设
,
∴,则
在
单调递减,
,
∴此时存在,使得
成立.
综上所述, .
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