题目内容
【题目】设为实数,函数
,
.
(1)求的单调区间与极值;
(2)求证:当且
时,
.
【答案】(1)在
上减,在
上增;当
时,
取极小值
(2)见解析
【解析】试题分析:本题主要考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明,具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用,解题时要认真审题,仔细解答.第一问,由,
,知
,
.令
,得
.列表讨论能求出
的单调区间区间及极值;第二问,设
,
,于是
,
.由第一问知当
时,
最小值为
,于是对任意
,都有
,所以
在R内单调递增.由此能够证明
.
试题解析:∵,
,
∴,
.
令,得
.
于是当x变化时, ,
的变化情况如下表:
故的单调递减区间是
,
单调递增区间是,
在
处取得极小值,
极小值为,无极大值.
(2)证明:设,
,
于是,
.
由(1)知当时,
最小值为
.
于是对任意,都有
,所以
在R内单调递增.
于是当时,对任意
,都有
.
而,从而对任意
,
.
即,
故.
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