题目内容
【题目】如图:椭圆与双曲线
有相同的焦点
、
,它们在
轴右侧有两个交点
、
,满足
.将直线
左侧的椭圆部分(含
,
两点)记为曲线
,直线
右侧的双曲线部分(不含
,
两点)记为曲线
.以
为端点作一条射线,分别交
于点
,交
于点
(点
在第一象限),设此时
.
(1)求的方程;
(2)证明: ,并探索直线
与
斜率之间的关系;
(3)设直线交
于点
,求
的面积
的取值范围.
【答案】(1)(2)见解析(3)
【解析】试题分析:(1)根据椭圆方程求出右焦点,根据
得到
、
关于
轴对称,所以求出
,
,所以求出双曲线的方程;(2)设
,得
,
,由
,得
,即
,又因为
分别在曲线
和
上,有,
,消去
,得,
(*),所以
点坐标为
,
.所以直线
的斜率
,直线
的斜率
.所以
与
斜率之和为零;(3)由(2)知直线
与
关于
轴对称,结合椭圆的对称性知点
与点
关于
轴对称,故
,所以
,利用函数单调求出
的范围。
试题解析:(1)由条件,得,根据
知,
、
、
三点共线,
且由椭圆与双曲线的对称性知, 、
关于
轴对称,
故所在直线为
,从而得
,
.
所以, ,又因为
为双曲线的焦点,所以
,
解得.
因此, 的方程为
.
(2)由
,得
,
,
由条件,得,即
,
由
分别在曲线
和
上,有,
,消去
,得,
(*),
将代入方程(*),成立,因此(*)有一根
,结合韦达定理得另一根为
,因为
,所以
,舍去.
所以, .
从而点坐标为
.
所以,直线的斜率
,
由,得
.
所以,直线的斜率
.
因此, 与
斜率之和为零.
(3)由(2)知直线与
关于
轴对称,结合椭圆的对称性知点
与点
关于
轴对称,故
,
因此,
,
,
因为在
上单调递增,
所以的取值范围是
.
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