题目内容

8.通过市场调查,得到某产品的资金投入x(万元)与获得的利润y(万元)的数据,如表所示:
资金投入 x2 3  4  5  6
利润y 2 3  578
(1)画出表中数据对应的散点图;
(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$;
(3)现投入资金15(万元),估计获得的利润为多少万元?
参考公式:
用最小二乘法求线性回归方程系数公式:$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$=$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$.

分析 (1)根据所给的五对数据,在坐标系中描出对应的点,画出散点图,可以看出这组数据是线性相关的关系.
(2)作出横标和纵标的平均数,得到样本中心点的坐标,利用最小二乘法作出线性回归方程的系数,得到方程.
(3)把所给的x的值代入线性回归方程,求出y的预报值,得到投入资金15(万元),估计获得的利润为22.6万元.

解答 解:(1)由x、y的数据可得对应的散点图为:…(3分)
(2)由题意,$\overline{x}$=4,$\overline{y}$=5,…(5分)
b=$\frac{2×2+3×3+4×5+5×7+6×8-5×4×5}{4+9+16+25+36-5×16}$=1.6,…(9分)
∴a=5-1.6×4=-1.4,即$\stackrel{∧}{y}$=1.6x-1.4.…(11分)
(3)由(2)可得,当x=15,$\stackrel{∧}{y}$=22.6.…(13分)
∴投入资金15(万元)时,估计获得的利润为22.6万元.…(14分)

点评 本题考查线性回归方程,是一个中档题,本题解题的关键是正确利用最小二乘法来计算线性回归方程的系数.

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