Question

【题目】已知椭圆： 的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为.

（1）求该椭圆的方程；

（2）若过点的直线与椭圆相交于， 两点，且点恰为弦的中点，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由已知条件求出的值，得出椭圆的方程；（2）由“点差法”求出直线的斜率，由直线的点斜式求出直线方程。

试题解析：（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，

∴a2﹣b2=1 ①，

又椭圆截抛物线的准线x=﹣1所得弦长为3，

∴可得上面的交点为（﹣1， ），∴ ②

由①代入②得4b4﹣9b2﹣9=0，解得b2=3或b2= （舍去），

从而a2=b2+1=4，∴该椭圆的方程为

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得，

3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，

相减可得3（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

由x1+x2=2，y1+y2=1，可得直线AB的斜率为，

即直线AB的方程为 ，即为3x+2y﹣4=0．