Question

【题目】已知函数，

（1）判断函数的奇偶性；

（2）是否存在实数使得的定义域为,值域为？若存在,求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）由函数的解析式可得 1﹣＞0，即 ＞0，由此求得定义域，定义域关于原点对称，且f（﹣x）+f（x）=0，可得f（x）是奇函数．

（2）a>1时,根据函数f（x）在[m，n]上是增函数,可得函数的值域不可能为[1+logan，1+logam]，此时，a不存在．

0＜a＜1时，f（x）单调递减，则由=1+logax，可得ax2+（2a﹣1）x+2=0．由题意可得，ax2+（2a﹣1）x+2=0有两个大于2的不等实根．根据二次函数的性质求得a的范围．

（1）定义域为{x|x<-2或x>2}， 且，所以f(x)是奇函数.

（2）a＞1时，根据函数f（x）在[m，n]上是增函数，1+logan＞1+logam，可得函数的值域不可能为[1+logan，1+logam]，此时，a不存在．

0<a<1时，f(x)单调递减，则=

即有两个大于2的不等实根，

设g(x)= ，则， 解得.