题目内容
【题目】如图，在矩形
中，
，
，M为
上的一点，以
为折痕把
折起，使点D到达点P的位置，且平面
平面.连接
，
，点N为的中点，且
平面
.
（1）求线段
的长；
（2）求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）1（2）
【解析】
（1）令平面
与
的交点为E，证明
平面
，得到四边形
为平行四边形，得到长度.
（2）以M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面
的法向量
，
为平面
的一个法向量，计算夹角得到答案.
（1）令平面与的交点为E，因为
平面，
平面
平面
，所以
.
在矩形
中，
，且
平面，
平面，
故平面.
又平面
平面
，所以
，所以四边形为平行四边形，
且点N为
的中点，点E为的中点，故
.
（2）由题易得
，所以
，即
.
又平面
平面，所以
平面，
以M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
.
所以
，
.
设平面的法向量
，则
，即
，
可取.
易得为平面的一个法向量.
因为
.
所以平面与平面
所成锐二面角的余弦值为.
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