Question

9．已知0＜α＜$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}＜β＜\frac{3π}{4}，cos（\frac{π}{4}-α）=\frac{3}{5}，sin（\frac{3π}{4}+β）=-\frac{5}{13}$，
求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin（$\frac{π}{4}$-α）和cos（$\frac{3π}{4}$+β）的值，从而求得sin（α+β）=-cos[（$\frac{3π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]的值．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}＜β＜\frac{3π}{4}，cos（\frac{π}{4}-α）=\frac{3}{5}，sin（\frac{3π}{4}+β）=-\frac{5}{13}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{3π}{4}$+β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{3π}{4}+β）}$=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）=-cos（$\frac{π}{2}$+α+β）=-cos[（$\frac{3π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=-cos（$\frac{3π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-sin（$\frac{3π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）
=-$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-（-$\frac{5}{13}$）×$\frac{4}{5}$=-$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．