Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ-2sinθ，2），$\overrightarrow{b}$=（sinθ，1）．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求tan2θ的值；
（Ⅱ）f（θ）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平行向量的坐标关系便可得到cosθ=4sinθ，从而tanθ=$\frac{1}{4}$，根据正切的二倍角公式即可求出tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$；
（Ⅱ）先求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，再由两角和的正弦公式即可得到f（θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+\frac{5}{2}$，而由θ的范围即可求出2θ$+\frac{π}{4}$的范围，从而结合正弦函数的图象即可得出sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的范围，从而得到f（θ）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$；
∴cosθ-2sinθ-2sinθ=0；
∴cosθ=4sinθ；
∴$tanθ=\frac{1}{4}$；
∴$tan2θ=\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}}=\frac{8}{15}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（cosθ-sinθ，3）$；
∴f（θ）=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}=sinθcosθ-si{n}^{2}θ+3$=$\frac{1}{2}sin2θ-\frac{1-cos2θ}{2}+3$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+\frac{5}{2}$；
∵$θ∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$（2θ+\frac{π}{4}）∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$；
∴$sin（2θ+\frac{π}{4}）∈$$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$；
∴2≤f（θ）≤$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$；
∴f（θ）的值域为[2，$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$]．

点评 考查平行向量的坐标的关系，切化弦公式，二倍角的正余弦、正切公式，向量加法的坐标运算，向量数量积的坐标运算，两角和的正弦公式，并熟悉正弦函数的图象．