题目内容
18.已知函数$f(x)=x+\frac{9}{x}$(1)利用函数单调性的定义证明:函数在(0,3]上单调递减.
(2)求函数在[1,2]上的值域.
(3)判断函数的奇偶性.
分析 (1)根据函数单调性的定义证明即可;(2)结合函数的单调性,求出函数的最值,从而得到函数的值域;(3)根据函数的奇偶性的定义证明即可.
解答 (1)证明:设 0<x1<x2<3,则 f(x1)-f(x2)=x1+$\frac{9}{{x}_{1}}$-(x2+$\frac{9}{{x}_{2}}$)
=(x1-x2)-$\frac{9{(x}_{1}{-x}_{2})}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=(x1-x2) (1-$\frac{9}{{x}_{1}{•x}_{2}}$).
由0<x1<x2,可得(x1-x2)<0,(1-$\frac{9}{{x}_{1}{x}_{2}}$)<0,
∴(x1-x2) (1-$\frac{9}{{{x}_{1}x}_{2}}$)>0,f(x1)>f(x2),故函数在(0,3)上单调递减.
(2)解:由(1)得:f(x)在[1,2]上单调递减,
∴f(x)最小值=f(2)=$\frac{13}{2}$,f(x)最大值=f(1)=1+9=10,
故函数在[1,2]上的值域是:[$\frac{13}{2}$,10].
(3)证明:∵函数的定义域关于原点对称,且函数f(x)=x+$\frac{9}{x}$,x≠0 满足
∴对任意的非零实数x,都有 f(-x)=-x+$\frac{9}{-x}$=-(x+$\frac{9}{x}$)=-f(x),
函数f(x),x≠0是奇函数.
点评 本题考查了函数的单调性的证明,考查函数的值域问题,考查函数的奇偶性,是一道中档题.
练习册系列答案
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13.$\int_0^1{({e^x}+x)dx}$ 等于( )
A. | e+$\frac{1}{2}$ | B. | e+$\frac{3}{2}$ | C. | e-$\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}$-e |
10.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为( )
A. | 0.72 | B. | $\frac{8}{9}$ | C. | 0.8 | D. | 0.5 |
8.下列选项叙述错误的是( )
A. | 命题“若x≠1,则x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0,则x=1” | |
B. | 若命题p:x∈A∩B,则命题¬p是x∉A或x∉B | |
C. | 若p∨q为真命题,则p,q均为真命题 | |
D. | “x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件 |