题目内容

18.已知函数$f(x)=x+\frac{9}{x}$
(1)利用函数单调性的定义证明:函数在(0,3]上单调递减.
(2)求函数在[1,2]上的值域.
(3)判断函数的奇偶性.

分析 (1)根据函数单调性的定义证明即可;(2)结合函数的单调性,求出函数的最值,从而得到函数的值域;(3)根据函数的奇偶性的定义证明即可.

解答 (1)证明:设 0<x1<x2<3,则 f(x1)-f(x2)=x1+$\frac{9}{{x}_{1}}$-(x2+$\frac{9}{{x}_{2}}$)
=(x1-x2)-$\frac{9{(x}_{1}{-x}_{2})}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=(x1-x2) (1-$\frac{9}{{x}_{1}{•x}_{2}}$).
由0<x1<x2,可得(x1-x2)<0,(1-$\frac{9}{{x}_{1}{x}_{2}}$)<0,
∴(x1-x2) (1-$\frac{9}{{{x}_{1}x}_{2}}$)>0,f(x1)>f(x2),故函数在(0,3)上单调递减.
(2)解:由(1)得:f(x)在[1,2]上单调递减,
∴f(x)最小值=f(2)=$\frac{13}{2}$,f(x)最大值=f(1)=1+9=10,
故函数在[1,2]上的值域是:[$\frac{13}{2}$,10].
 (3)证明:∵函数的定义域关于原点对称,且函数f(x)=x+$\frac{9}{x}$,x≠0 满足
∴对任意的非零实数x,都有 f(-x)=-x+$\frac{9}{-x}$=-(x+$\frac{9}{x}$)=-f(x),
函数f(x),x≠0是奇函数.

点评 本题考查了函数的单调性的证明,考查函数的值域问题,考查函数的奇偶性,是一道中档题.

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